信号处理基础：复数、欧拉公式与Z变换详解

本篇整理雷达信号处理中最核心的三大数学工具：复数、欧拉公式与Z变换。它们是理解 I/Q 信号、波束形成、滤波器设计、频率分析的基础。

一、复数（Complex Number）

1.1 历史

1545年：意大利数学家卡尔达诺（Girolamo Cardano）在解三次方程时首次引入负数的平方根
1572年：邦贝利（Rafael Bombelli）在《代数学》中系统使用虚数
18世纪：欧拉（Euler）引入符号 $i$ 表示 $\sqrt{-1}$
19世纪：高斯（Gauss）建立复平面，奠定复变函数论基础

1.2 定义

复数由实部和虚部组成：

z = a + bi \quad (a, b \in \mathbb{R}, \quad i^2 = -1)

实部： $\text{Re}(z) = a$
虚部： $\text{Im}(z) = b$
共轭复数： $\bar{z} = a - bi$

1.3 复数的表示形式

代数形式（Cartesian 形式）：

z = a + bi

极坐标形式（Polar 形式）：

z = r(\cos\theta + i\sin\theta)

其中：

$r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ ：模（绝对值）
$\theta = \arg(z) = \arctan\left(\frac{b}{a}\right)$ ：幅角（辐角）

指数形式（Exponential 形式）：

z = re^{i\theta}

由欧拉公式（见下一节）导出。

1.4 复数的运算

加法：

(a + bi) + (c + di) = (a+c) + (b+d)i

乘法：

(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i

极坐标乘法（几何意义：模相乘，辐角相加）：

r_1 e^{i\theta_1} \cdot r_2 e^{i\theta_2} = r_1 r_2 e^{i(\theta_1 + \theta_2)}

除法：

\frac{a + bi}{c + di} = \frac{(a + bi)(c - di)}{(c + di)(c - di)} = \frac{ac + bd}{c^2 + d^2} + \frac{bc - ad}{c^2 + d^2}i

1.5 复数在雷达中的应用

I/Q 信号：接收机将回波分解为同相分量 $I$ 和正交分量 $Q$ ，组成复信号 $s = I + jQ$
波束形成：加权系数 $w = I_w + jQ_w$ （幅度+相位），与信号相乘实现相位补偿
频谱分析：FFT 将时域信号转换为复数频谱（幅度+相位）

二、欧拉公式（Euler's Formula）

2.1 公式

\boxed{e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta}

特殊情况（ $θ = π$ ）：

e^{i\pi} + 1 = 0

这个等式被誉为"最美的数学公式"，因为它用一个等式联系了数学中五个最重要的常数： $e$ 、 $i$ 、 $\pi$ 、 $1$ 、 $0$ 。

2.2 历史

1748年：欧拉在《无穷小分析引论》中首次明确写出此公式
实际上，欧拉早已在通信和数学分析中使用这一关系
18世纪数学家们（包括柯西、黎曼等）在此基础上发展出复变函数论

2.3 泰勒级数推导

指数函数的泰勒展开：

e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots

令 $x = i\theta$ ：

e^{i\theta} = 1 + i\theta + \frac{(i\theta)^2}{2!} + \frac{(i\theta)^3}{3!} + \frac{(i\theta)^4}{4!} + \frac{(i\theta)^5}{5!} + \cdots

利用 $i^2 = -1, i^3 = -i, i^4 = 1, i^5 = i, \cdots$ ：

e^{i\theta} = 1 + i\theta - \frac{\theta^2}{2!} - \frac{i\theta^3}{3!} + \frac{\theta^4}{4!} + \frac{i\theta^5}{5!} - \cdots

分离实部和虚部：

实部：

1 - \frac{\theta^2}{2!} + \frac{\theta^4}{4!} - \frac{\theta^6}{6!} + \cdots = \cos\theta

虚部：

\theta - \frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^5}{5!} - \frac{\theta^7}{7!} + \cdots = \sin\theta

因此：

e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta

证毕。

2.4 几何意义

在复平面上， $e^{i\theta}$ 表示一个单位圆上角度为 $\theta$ 的点：

实轴分量 = $\cos\theta$ （水平投影）
虚轴分量 = $\sin\theta$ （垂直投影）

$e^{i\theta}$ 是复平面上旋转因子：乘以 $e^{i\theta}$ 等于将复数向量逆时针旋转 $\theta$ 弧度。

2.5 关键性质

1) 乘法 = 旋转

z \cdot e^{i\theta} = |z| e^{i(\arg(z) + \theta)}

2) 三角函数的指数表示

\cos\theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}, \quad \sin\theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}

3) 欧拉公式的逆

e^{-i\theta} = \cos\theta - i\sin\theta

2.6 欧拉公式在雷达中的应用

正交解调： $s(t) = A\cos(2\pi f_0 t + \phi) = \text{Re}[Ae^{j\phi} e^{j2\pi f_0 t}]$
波束形成相位： $e^{j\varphi}$ 表示相位旋转（ $\varphi = \frac{2\pi}{\lambda}d\sin\theta$ ）
傅里叶变换： $X(\omega) = \int x(t) e^{-j\omega t} dt$

三、Z变换（Z-Transform）

3.1 历史

1947年：波兰数学家卢甘德（Hurewicz）首次提出Z变换
1952年：拉格尼（Ragazzini）和扎德（Zadeh）在论文中系统化Z变换理论
1960-70年代：Z变换成为数字信号处理（DSP）的核心数学工具
雷达应用：数字滤波器设计、离散系统分析、数字波束形成

3.2 定义

Z变换将离散序列 $x[n]$ 映射为复变量 $z$ 的函数：

\boxed{X(z) = \mathcal{Z}\{x[n]\} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] z^{-n}}

其中 $z = re^{i\omega}$ 是复变量。

因果序列（单边Z变换）：

X(z) = \sum_{n=0}^{\infty} x[n] z^{-n}

逆Z变换：

x[n] = \frac{1}{2\pi j} \oint_C X(z) z^{n-1} dz

（围线积分， $C$ 在收敛域内）

3.3 常见Z变换对

序列 $x[n]$	Z变换 $X(z)$	收敛域
$\delta[n]$ （单位脉冲）	$1$	全平面
$u[n]$ （单位阶跃）	$\frac{z}{z-1} = \frac{1}{1-z^{-1}}$	$\\|z\\| > 1$
$a^n u[n]$	$\frac{z}{z-a} = \frac{1}{1-az^{-1}}$	$\\|z\\| > \\|a\\|$
$n \cdot a^n u[n]$	$\frac{az}{(z-a)^2}$	$\\|z\\| > \\|a\\|$
$\cos(\omega n) u[n]$	$\frac{z(z-\cos\omega)}{z^2-2z\cos\omega+1}$	$\\|z\\| > 1$
$\sin(\omega n) u[n]$	$\frac{z\sin\omega}{z^2-2z\cos\omega+1}$	$\\|z\\| > 1$
$a^n \cos(\omega n) u[n]$	$\frac{z(z-a\cos\omega)}{z^2-2az\cos\omega+a^2}$	$\\|z\\| > \\|a\\|$

3.4 Z变换的重要性质

线性：

\mathcal{Z}\{a \cdot x_1[n] + b \cdot x_2[n]\} = a \cdot X_1(z) + b \cdot X_2(z)

时移（延迟）：

\mathcal{Z}\{x[n-k]\} = z^{-k} X(z)

（因果序列， $x[n] = 0$ 当 $n < 0$ ）

卷积（时域卷积 = z域乘积）：

\mathcal{Z}\{x[n] * h[n]\} = X(z) \cdot H(z)

这是 Z 变换最重要的性质之一——把复杂的卷积运算转换为简单的乘法。

微分（z域微分）：

\mathcal{Z}\{n \cdot x[n]\} = -z \frac{dX(z)}{dz}

初值定理：

x[0] = \lim_{z \to \infty} X(z)

终值定理（因果稳定系统）：

\lim_{n \to \infty} x[n] = \lim_{z \to 1} (z-1) X(z)

3.5 收敛域（ROC）

Z变换 $X(z)$ 的收敛域是使级数绝对收敛的 $z$ 值集合：

\text{ROC} = \{z \in \mathbb{C} : \sum_{n=-\infty}^{\infty} |x[n]| |z|^{-n} < \infty\}

性质：

ROC 是复平面上的环形区域 $r_1 < |z| < r_2$
ROC 内不包含极点
因果序列：ROC 为 $|z| > r_{max}$ （最大极点模）
反因果序列：ROC 为 $|z| < r_{min}$

3.6 零极点分析

Z变换通常表示为有理函数：

X(z) = \frac{b_0 + b_1 z^{-1} + \cdots + b_M z^{-M}}{a_0 + a_1 z^{-1} + \cdots + a_N z^{-N}} = \frac{\prod_{k=1}^{M}(z - z_k)}{\prod_{k=1}^{N}(z - p_k)}

零点： $z_k$ 使 $X(z) = 0$
极点： $p_k$ 使 $X(z) \to \infty$
稳定性：所有极点在单位圆内（ $|p_k| < 1$ ）时系统稳定
因果性：ROC 为 $|z| > |p_{max}|$

几何解释：

极点处频率响应峰值（共振）
零点处频率响应谷值（抑制）

3.7 Z变换与离散时间傅里叶变换（DTFT）的关系

Z变换是 DTFT 的推广：

X(e^{i\omega}) = X(z) \big|_{z = e^{i\omega}}

即 Z 变换在单位圆上的取值就是 DTFT。

3.8 Z变换在雷达中的应用

1) 数字滤波器设计

FIR 滤波器： $H(z) = b_0 + b_1 z^{-1} + \cdots + b_N z^{-N}$ （无极点，总是稳定）
IIR 滤波器： $H(z) = \frac{\sum b_k z^{-k}}{\sum a_k z^{-k}}$ （有极点，需检查稳定性）

2) 数字波束形成

DBF 加权系数 $w[n]$ 的 Z 变换：

W(z) = \sum_{n=0}^{N-1} w[n] z^{-n}

3) 多普勒滤波器

脉冲雷达中，回波脉冲序列的多普勒分析等价于对序列做 Z 变换后在单位圆上采样（DTFT）。

四、三者的联系

复数 → 欧拉公式 → Z变换
  │         │         │
  │    旋转因子      离散系统分析
  │    e^{iθ}       X(z) = Σ x[n]z^{-n}
  │
  └─→ I/Q信号
      (I + jQ)

复数是基础，提供代数和几何表示
欧拉公式是桥梁，连接复数与三角函数/指数函数
Z变换是应用，将离散序列映射到复数域，用于系统分析和设计

五、一句话总结

复数是雷达信号的"容器"（I/Q 两路），欧拉公式是"旋转器"（相位操作），Z 变换是"翻译器"（把离散时域问题转化为复数域的代数问题）。 三者联合，构成了数字信号处理的数学基石。

本文为技术学习笔记，供雷达信号处理初学者参考。相关阅读：《相控阵雷达入门》系列、《Q15 定点数格式完全指南》、《WRSP6TK 雷达 TR 测试软件源码精讲》系列。