相控阵雷达入门（2）：相控阵雷达天线

本篇是《相控阵雷达原理》第 2 章学习笔记。这是全书公式最密集的一章，我们放慢速度，一步步推导。

一、预备知识：什么是方向图？

天线在不同方向辐射（或接收）能力的强弱，画成图就是方向图。主瓣（最大辐射方向）之外的小峰叫副瓣（旁瓣）。衡量方向图有三个关键参数：

• 波束宽度：主瓣半功率点（-3dB）之间的夹角 $\theta_{0.5}$，决定角度分辨力
• 副瓣电平：副瓣峰值与主瓣峰值的比值，决定抗干扰能力
• 增益：天线把功率集中到某一方向的能力

二、均匀直线阵的方向图推导（核心！）

2.1 建立模型

设 $N$ 个相同的天线单元沿直线等间距排列，间距为 $d$，各单元激励电流幅度相等（均匀激励），第 $i$ 个单元的激励电流为：

$$I_i = a e^{j i \Delta\varphi}$$

其中 $a$ 是幅度，$\Delta\varphi$ 是相邻单元之间的阵内相移（由移相器提供），$i = 0, 1, \dots, N-1$。

2.2 空间相位差

目标方向与阵法线夹角为 $\theta$。相邻单元到目标的路程差为 $d\sin\theta$，对应的空间相位差为：

$$\Delta\psi = \frac{2\pi}{\lambda} d\sin\theta$$

2.3 各单元在观察点处的场

第 $i$ 个单元在远区观察点处的电场强度可写成：

$$E_i = K f(\theta) \cdot a e^{j i \Delta\varphi} \cdot e^{-j i \Delta\psi}$$

其中 $K$ 为比例常数，$f(\theta)$ 为单元天线的方向图函数。

注意第二项指数是阵内相移（移相器给的），第三项指数是空间传播相位差（路程差天然造成的）。两者相减，就是净相位。

2.4 总场强：等比数列求和

根据叠加原理，总场强是所有单元场的和：

$$E = \sum_{i=0}^{N-1} E_i = K a f(\theta) \sum_{i=0}^{N-1} e^{j i (\Delta\varphi - \Delta\psi)}$$

令 $u = \Delta\varphi - \Delta\psi$，这是一个等比数列求和：

$$\sum_{i=0}^{N-1} e^{j i u} = \frac{1 - e^{j N u}}{1 - e^{j u}}$$

利用恒等式 $1 - e^{jx} = -2j e^{jx/2} \sin(x/2)$：

$$\frac{1 - e^{jNu}}{1 - e^{ju}} = e^{j(N-1)u/2} \cdot \frac{\sin(Nu/2)}{\sin(u/2)}$$

忽略不影响幅度的相位因子 $e^{j(N-1)u/2}$，取幅度，得到阵因子：

$$F(\theta) = \left| \frac{\sin\left(\dfrac{Nu}{2}\right)}{\sin\left(\dfrac{u}{2}\right)} \right|, \quad u = \Delta\varphi - \frac{2\pi}{\lambda} d\sin\theta$$

2.5 方向图函数

总方向图 = 单元因子 × 阵因子：

$$\boxed{E(\theta) = f(\theta) \cdot \frac{\sin\left(\dfrac{N}{2}\left(\Delta\varphi - \dfrac{2\pi}{\lambda}d\sin\theta\right)\right)}{\sin\left(\dfrac{1}{2}\left(\Delta\varphi - \dfrac{2\pi}{\lambda}d\sin\theta\right)\right)}}$$

这就是线性相控阵天线方向图函数，本书 2.2.1 节的核心公式（式 2.11 附近）。

三、波束指向条件

当分子分母同时为 0 时（$\dfrac{Nu}{2} = m\pi$ 且 $\dfrac{u}{2} = m\pi$），利用洛必达法则可得主瓣最大值为 $N$。主瓣最大值出现在：

$$u = 0 \quad\Rightarrow\quad \Delta\varphi = \frac{2\pi}{\lambda} d\sin\theta_0$$

即波束最大值指向 $\theta_0$ 的条件：

$$\boxed{\Delta\varphi = \frac{2\pi}{\lambda} d \sin\theta_0}$$

这正好和第 1 章结论一致：移相器提供的阵内相移等于空间相位差，波束就指向那个方向。

当 $\dfrac{u}{2} = m\pi$（$m$ 为非零整数）而分子 $\neq 0$ 时，出现栅瓣（不希望的额外大波瓣）。

四、波束宽度（分辨率）

4.1 主瓣宽度

主瓣零点之间宽度（第一零点波束宽度）可由 $Nu/2 = \pi$ 解出：

$$\sin\theta - \sin\theta_0 = \pm \frac{\lambda}{Nd}$$

当波束指向法线方向（$\theta_0 = 0$），且 $\theta$ 较小时：

$$\theta_{0,\text{null}} \approx \pm \frac{\lambda}{Nd} \quad (\mathrm{rad})$$

半功率波束宽度近似为（$Nd$ 即阵列总长度 $L$）：

$$\boxed{\theta_{0.5} \approx 0.886 \frac{\lambda}{Nd} \approx \frac{\lambda}{L} \ (\mathrm{rad})}$$

直觉：阵列越长（$L$ 越大）、波长越短（$\lambda$ 越小），波束越窄，角度分辨力越高。$N=100$、$d=\lambda/2$ 时，$\theta_{0.5} \approx 1°$。

4.2 扫描时的波束展宽

波束扫描到 $\theta_0$ 方向时，波束宽度会展宽：

$$\theta_{0.5}(\theta_0) \approx \frac{\theta_{0.5}(0)}{\cos\theta_0}$$

直觉：波束"斜着看"时，有效孔径在垂直于视线方向的投影变小（$L\cos\theta_0$），所以波束变宽。$\theta_0 = 60°$ 时波束宽度翻倍。

五、栅瓣抑制：单元间距的选择

栅瓣会出现在 $u/2 = m\pi$（$m = \pm1, \pm2, \dots$）的方向，即：

$$\sin\theta_g = \sin\theta_0 \pm \frac{m\lambda}{d}$$

要避免栅瓣进入可见空间（$|\sin\theta| \le 1$），必须满足：

$$\boxed{d \le \frac{\lambda}{1 + |\sin\theta_0|}}$$

最大扫描角 $\theta_{0\max}$ 时的单元间距上限：

• 扫描 $\pm 60°$：$d \le \lambda/(1+0.866) \approx 0.536\lambda$，工程上常取 $d \approx \lambda/2$
• 法线附近扫描：$d \le \lambda$

直觉：单元间距大了省单元（省钱），但会出现栅瓣（把能量辐射到错误方向）。$d = \lambda/2$ 是工程上最常用的折中。

六、方向图分解：平面相控阵天线

二维平面阵（$M \times N$ 单元，行间距 $d_y$，列间距 $d_z$）的方向图可以分解为两个一维阵因子的乘积：

$$E(\theta, \varphi) = f(\theta, \varphi) \cdot F_y \cdot F_z$$

其中：

$$F_y = \frac{\sin\left[\dfrac{N}{2}\left(\Delta\varphi_y - \dfrac{2\pi}{\lambda}d_y\sin\theta\cos\varphi\right)\right]}{\sin\left[\dfrac{1}{2}\left(\Delta\varphi_y - \dfrac{2\pi}{\lambda}d_y\sin\theta\cos\varphi\right)\right]}$$ $$F_z = \frac{\sin\left[\dfrac{M}{2}\left(\Delta\varphi_z - \dfrac{2\pi}{\lambda}d_z\sin\theta\sin\varphi\right)\right]}{\sin\left[\dfrac{1}{2}\left(\Delta\varphi_z - \dfrac{2\pi}{\lambda}d_z\sin\theta\sin\varphi\right)\right]}$$

直觉：平面阵的方向图 = 两个方向"各自负责"的阵因子的乘积，这就是"方向图可分解"的含义。设计平面阵可以分别设计两个线阵。

单元按三角形排列（蜂窝状）比矩形排列可以在同样副瓣水平下节省约 13% 的单元数。

七、低副瓣的实现方法

副瓣会把干扰"引进来"、把能量"漏出去"，所以越低越好。三种方法：

7.1 幅度加权（锥削）

给中间单元大电流、边缘单元小电流（如泰勒分布、切比雪夫分布）。边缘单元激励幅度按加权函数 $a_i$ 分布。

• 优点：副瓣可压到 -40dB 以下
• 缺点：主瓣变宽、增益损失。增益损失系数 $\eta \approx \dfrac{\left(\sum a_i\right)^2}{N\sum a_i^2}$

以常用的余弦平方加权为例，副瓣电平与波束展宽系数有明确对应关系（详见天线理论教材）。

7.2 密度加权（稀疏阵）

思路：不是调每个单元的电流大小，而是让"要不要这个单元"——中间密布单元、边缘稀疏布单元，等效出锥削效果。

• 优点：可以用相同的、便宜的单元（等幅激励），省去衰减器
• 缺点：阵面大、需要精确设计单元位置

发射相控阵天线功率增益公式（本书式 2.107～2.113）：

$$G = \eta \cdot \frac{4\pi A}{\lambda^2} = \eta \cdot 4\pi \frac{A}{\lambda^2}$$

其中 $A$ 为天线有效口径面积，$\eta$ 为口径效率（加权损失）。

7.3 相位加权

只改变相位（不动幅度）来近似实现低副瓣。实现简单但副瓣改善有限，常与其他方法组合。

八、共形相控阵天线

定义：阵面与载体表面贴合的天线（圆柱形、锥形、球形等）。

特点：

1. 不破坏平台气动外形（导弹头锥、机头）
2. 可实现 360° 覆盖（圆柱阵）
3. 需要补偿不同观察方向的时延、相位、幅度差——这正是有源相控阵（每个单元后面接 T/R 组件）的强项，可用移相器和衰减器逐单元补偿

典型应用：美海军 CEC 项目中的舰载圆柱形相控阵雷达天线等。

九、多极化相控阵天线

极化：电磁波电场矢量在空间的变化轨迹（线极化、圆极化、椭圆极化）。

• 多极化天线单元可以同时形成不同极化波
• 雷达工作状态需要匹配极化，否则存在极化失配损失
• 圆极化相控阵天线：接收任意线极化目标的回波都不至于完全丢失信号

十、本章核心公式卡片

十一、一句话总结

天线方向图的本质是"干涉"：单元的间距和相位差决定了波束的形状和指向。 均匀激励给最窄波束但副瓣高；幅度/密度/相位加权降低副瓣但付出波束展宽和增益损失。这些折中思维贯穿雷达系统设计始终。

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