雷达信号处理

本文整合以下内容：

PRF 与频率分辨率的关系；

从基本原理推导 PRF、CPI、多普勒分辨率、速度分辨率；

中频 120 MHz 激励、LFM、9320 MHz 射频、下变频、中频、零频信号；

中心 0 Hz、负频率、IQ 复基带、正负多普勒；

相关扩展知识点与常见误区。

0. 总览：从信号产生到数字基带

典型脉冲多普勒雷达信号链：

DDS/基带产生 LFM
        ↓
中频 120 MHz 激励信号：中心 120 MHz 的 LFM
        ↓ 上变频，本振例如 9200 MHz
射频 9320 MHz 信号：中心 9320 MHz 的 LFM
        ↓ 发射、接收
接收回波：中心约 9320 MHz，可能带多普勒
        ↓ 下变频，本振例如 9200 MHz
接收中频：中心约 120 MHz，可能带多普勒
        ↓ ADC 采样
数字下变频 DDC，NCO 例如 120 MHz
        ↓
零频信号：中心 0 Hz 的复基带 I/Q

核心结论：

中频、射频、零频描述的是信号所在的频率位置。
线性调频 LFM描述的是信号调制形式，可以放在中频、射频或基带。
PRF是慢时间采样率，决定无模糊多普勒范围和无模糊速度范围。
频率分辨率主要由相干处理时间 T_CPI 决定， $\Delta f_d = 1 / T_{CPI} = PRF / N$ 。
零频信号不是只有 0 Hz，而是中心在 0 Hz、仍有正负频率的复基带信号。
负频率在复信号中正常存在，表示与正频率相反的旋转方向和多普勒方向。

1. 基础概念

1.1 快时间与慢时间

维度	含义	对应
快时间	单个脉冲内的时间	距离维
慢时间	不同脉冲之间的时间	多普勒维
快时间采样率	ADC 采样率	决定距离窗
慢时间采样率	PRF	决定无模糊多普勒范围

慢时间采样率就是：

f_{s,\mathrm{slow}} = PRF

所以，PRF 本质上是多普勒维的采样率。

1.2 中频、射频、基带/零频

名称	中心频率	信号形式	作用
中频 IF	例如 120 MHz	LFM 实信号	发射链输入、接收链中间频率
射频 RF	例如 9320 MHz	LFM 调制射频	天线发射与接收
基带/零频	0 Hz	复基带 I/Q	数字信号处理
本振 LO	例如 9200 MHz	单频	上变频/下变频混频

关键区别：

中频 120 MHz：信号中心在 120 MHz。
线性调频 LFM：信号频率随时间线性变化。
射频 9320 MHz：上变频后的发射载频。
下变频：把射频搬回中频。
零频：再经过数字下变频后，中心搬到 0 Hz 的复基带。

1.3 线性调频信号 LFM

线性调频信号也叫 Chirp 信号，频率随时间线性变化：

f(t) = f_0 + K t

其中：

f0：起始频率或中心频率；
K：调频斜率；
B：带宽；
T：脉宽。

调频斜率：

K = \frac{B}{T}

时宽带宽积：

BT = B \cdot T

如果中频 LFM 中心 120 MHz，带宽 10 MHz，则频率范围约为：

115\ \mathrm{MHz} \sim 125\ \mathrm{MHz}

线性调频本身不是“中频”或“射频”，它是一种调制形式。它可以存在于中频，也可以存在于射频，也可以搬到零频。

1.4 上变频与下变频

上变频：

f_{RF} = f_{LO} + f_{IF}

或：

f_{RF} = |f_{LO} - f_{IF}|

下变频：

f_{IF} = f_{RF} - f_{LO}

或：

f_{IF} = f_{LO} - f_{RF}

以 120 MHz 中频、9200 MHz 本振、9320 MHz 射频为例。

上变频：

9200\ \mathrm{MHz} + 120\ \mathrm{MHz} = 9320\ \mathrm{MHz}

下变频：

9320\ \mathrm{MHz} - 9200\ \mathrm{MHz} = 120\ \mathrm{MHz}

1.5 IQ 复基带与零频

零频信号也叫基带信号、复基带信号、I/Q 信号。

数字下变频：

s_{bb}(t) = s_{IF}(t) \exp(-j 2\pi f_{IF} t)

然后低通滤波。

如果中频是 120 MHz：

中心 120 MHz 的中频信号 → 中心 0 Hz 的零频信号

零频信号通常是一个复信号：

s_{bb}(t) = I(t) + j Q(t)

它保留了：

幅度；
相位；
正负多普勒；
距离信息；
调频斜率信息。

1.6 正频率与负频率

在复信号中，频率轴以 0 Hz 为中心，可以出现负频率。

正频率：复矢量逆时针旋转；
负频率：复矢量顺时针旋转。

对应多普勒：

目标接近雷达：多普勒为正，基带中心往正频率偏；
目标远离雷达：多普勒为负，基带中心往负频率偏。

例如基带中心原本在 0 Hz：

目标接近：中心移到 $+f_d$ ；
目标远离：中心移到 $-f_d$ 。

1.7 实信号与复信号频谱

实正弦：

\cos(2\pi f_0 t) = \frac{e^{j2\pi f_0 t} + e^{-j2\pi f_0 t}}{2}

频谱有 $+f_0$ 和 $-f_0$ 两个共轭对称成分。

复指数：

e^{j2\pi f_0 t}

频谱只有 $+f_0$ 。

复指数：

e^{-j2\pi f_0 t}

频谱只有 $-f_0$ 。

所以，复信号可以区分正频率和负频率。

2. PRF 与频率分辨率

2.1 PRF、PRI、CPI

量	公式	说明
PRF	脉冲重复频率	每秒发射脉冲数
PRI	$PRI = 1 / PRF$	脉冲重复间隔
N	相干处理间隔内脉冲数	慢时间采样点数
T_CPI	$T_{CPI} = N \cdot PRI = N / PRF$	相干处理时间

2.2 多普勒频率

目标径向速度 v，接近雷达为正。

f_d = \frac{2v}{\lambda}

因此：

v = \frac{\lambda f_d}{2}

目标速度信息被编码在回波相位随慢时间的变化中。

2.3 慢时间采样与 PRF

第 m 个脉冲时刻：

t_m = \frac{m}{PRF}

慢时间采样后的相位序列：

\varphi_m = \varphi_0 + 2\pi f_d \frac{m}{PRF}

归一化多普勒频率：

\nu = \frac{f_d}{PRF}

根据采样定理：

-\frac{1}{2} \le \nu \le \frac{1}{2}

所以无模糊多普勒范围：

-\frac{PRF}{2} \le f_d \le \frac{PRF}{2}

2.4 无模糊多普勒与速度

无模糊速度范围：

|v| \le \frac{\lambda PRF}{4}

即：

v_{max} = \pm \frac{\lambda PRF}{4}

结论：

PRF 越高，无模糊多普勒范围越大；
PRF 越高，无模糊速度范围越大；
目标速度超过范围会出现多普勒模糊，也叫速度模糊。

2.5 FFT 与频率 bin

对 N 个慢时间采样做 FFT，频率 bin 间隔：

\Delta f_{bin} = \frac{f_{s,\mathrm{slow}}}{N} = \frac{PRF}{N}

又因为：

\frac{PRF}{N} = \frac{1}{T_{CPI}}

所以：

\Delta f_{bin} = \frac{1}{T_{CPI}}

FFT 频率轴：

f_k = k \frac{PRF}{N}, \quad k = -\frac{N}{2}, \ldots, \frac{N}{2} - 1

注意：

补零可以让 FFT 点数变多，bin 看起来更密；
补零不会提高真实频率分辨率；
真实分辨率由观测时间 T_CPI 决定。

2.6 真实频率分辨率

对于矩形窗、理想点目标，多普勒频率分辨率约为：

\Delta f_d \approx \frac{1}{T_{CPI}}

因为：

T_{CPI} = \frac{N}{PRF}

所以：

\Delta f_d = \frac{PRF}{N}

对应速度分辨率：

\Delta v = \frac{\lambda}{2} \Delta f_d = \frac{\lambda}{2} \cdot \frac{PRF}{N} = \frac{\lambda PRF}{2N} = \frac{\lambda}{2 T_{CPI}}

结论：

T_CPI 越长，多普勒分辨率越好，速度分辨率越好；
真正决定多普勒频率分辨率的是相干处理时间 T_CPI；
固定 N 时，PRF 通过 $\Delta f_d = PRF / N$ 与分辨率发生关系。

2.7 PRF 与频率分辨率核心关系

核心关系：

\Delta f_d = \frac{1}{T_{CPI}} = \frac{PRF}{N}

解释：

固定脉冲数 N 时

\Delta f_d = \frac{PRF}{N}

PRF 越高， $\Delta f_d$ 越大，频率分辨率越差；
但无模糊速度范围 $v_{max} = \pm \lambda PRF / 4$ 越大；
即：提高 PRF 是用分辨率换测速无模糊范围。

固定相干处理时间 T_CPI 时

\Delta f_d = \frac{1}{T_{CPI}}

频率分辨率只由 T_CPI 决定，与 PRF 无关；
PRF 改变时，脉冲数 N 跟着改变，但分辨率不变。

固定 PRF，增加 N 时

T_{CPI} = \frac{N}{PRF}

N 越大，T_CPI 越长， $\Delta f_d$ 越小；
频率分辨率和速度分辨率越好；
代价是处理时间变长、数据量变大、实时性下降。

2.8 三种典型情况

情况一：固定脉冲数 N

\Delta f_d = \frac{PRF}{N}

PRF 越高：

$\Delta f_d$ 越大，多普勒频率分辨率越差；
$\Delta v = \lambda PRF / (2N)$ 越大，速度分辨率越差；
无模糊速度范围 $v_{max} = \pm \lambda PRF / 4$ 越大。

情况二：固定相干处理时间 T_CPI

N = PRF \cdot T_{CPI}, \quad \Delta f_d = \frac{1}{T_{CPI}}

频率分辨率只由 T_CPI 决定，与 PRF 无关；
PRF 只影响无模糊速度范围。

情况三：固定 PRF，增加 N

T_{CPI} = \frac{N}{PRF}

N 越大：

T_CPI 越长；
$\Delta f_d = 1 / T_{CPI}$ 越小；
频率分辨率和速度分辨率越好。

2.9 距离模糊与距离分辨率

无模糊距离：

R_{max} = \frac{c}{2 PRF}

因此：

PRF 越高，无模糊测速范围越大；
PRF 越高，无模糊测距范围越小；
PRF 越低，测距无模糊范围越大，但测速无模糊范围越小。

距离分辨率：

\Delta R = \frac{c}{2B}

距离分辨率由发射信号带宽 B 决定，与 PRF 没有直接关系。 PRF 主要影响距离模糊和速度模糊，而不是距离分辨率。

2.10 PRF 折衷

PRF 类型	优点	缺点
低 PRF	测距无模糊范围大	测速无模糊范围小
高 PRF	测速无模糊范围大	测距无模糊范围小
中 PRF	折衷	距离和速度都可能模糊

雷达中 PRF 的选择需要在测速范围、测距范围和分辨率之间折衷。

2.11 常见误区

误区一：PRF 越高，频率分辨率一定越好

正确：固定 N 时，PRF 越高， $\Delta f_d = PRF / N$ 越大，分辨率越差。固定 T_CPI 时，PRF 不影响频率分辨率。

误区二：补零可以提高真实频率分辨率

正确：补零只能让 FFT bin 变密，改善显示效果，不能提高真实分辨能力。真实分辨率由 T_CPI 决定。

误区三：FFT bin 间隔就是真实频率分辨率

正确：FFT bin 间隔是离散频率采样间隔，真实分辨率还受观测时间、窗函数、信噪比等影响。

误区四：PRF 决定距离分辨率

正确：距离分辨率由带宽 B 决定， $\Delta R = c / (2B)$ 。 PRF 主要影响距离模糊。

误区五：加窗一定能提高分辨率

正确：加窗通常会展宽主瓣，降低频率分辨率，但可以降低旁瓣，抑制泄漏。

2.12 公式汇总

量	公式
脉冲重复间隔	$PRI = 1 / PRF$
相干处理时间	$T_{CPI} = N / PRF$
多普勒频率	$f_d = 2v / \lambda$
无模糊多普勒范围	$-PRF/2 \le f_d \le PRF/2$
无模糊速度范围	$v_{max} = \pm \lambda PRF / 4$
FFT bin 间隔	$\Delta f_{bin} = PRF / N = 1 / T_{CPI}$
多普勒频率分辨率	$\Delta f_d \approx 1 / T_{CPI} = PRF / N$
速度分辨率	$\Delta v = \lambda PRF / (2N) = \lambda / (2 T_{CPI})$
无模糊距离	$R_{max} = c / (2 PRF)$
距离分辨率	$\Delta R = c / (2B)$

2.13 示例计算

设：

\lambda = 0.03\ \mathrm{m}, \quad PRF = 10\ \mathrm{kHz} = 10000\ \mathrm{Hz}, \quad N = 1000

则：

\begin{aligned} PRI &= \frac{1}{10000} = 0.0001\ \mathrm{s} = 100\ \mu\mathrm{s} \\ T_{CPI} &= \frac{N}{PRF} = \frac{1000}{10000} = 0.1\ \mathrm{s} \\ \Delta f_{bin} &= \frac{PRF}{N} = \frac{10000}{1000} = 10\ \mathrm{Hz} \\ \Delta f_d &\approx 10\ \mathrm{Hz} \\ \Delta v &= \frac{\lambda PRF}{2N} = \frac{0.03 \times 10000}{2 \times 1000} = 0.15\ \mathrm{m/s} \\ v_{max} &= \frac{\lambda PRF}{4} = \frac{0.03 \times 10000}{4} = 75\ \mathrm{m/s} \\ R_{max} &= \frac{c}{2 PRF} = \frac{3 \times 10^8}{2 \times 10000} = 15000\ \mathrm{m} = 15\ \mathrm{km} \end{aligned}

若带宽 $B = 10\ \mathrm{MHz}$ ，则：

\Delta R = \frac{c}{2B} = \frac{3 \times 10^8}{2 \times 10 \times 10^6} = 15\ \mathrm{m}

3. 频率变换链实例：120 MHz 中频、9320 MHz 射频、零频

3.1 参数假设

中频中心：120 MHz
中频带宽：10 MHz
本振：9200 MHz
射频中心：9320 MHz

中频 LFM 实信号频率范围约为：

115\ \mathrm{MHz} \sim 125\ \mathrm{MHz}

上变频后射频频率范围约为：

9315\ \mathrm{MHz} \sim 9325\ \mathrm{MHz}

3.2 上变频

f_{RF} = f_{LO} + f_{IF} = 9200\ \mathrm{MHz} + 120\ \mathrm{MHz} = 9320\ \mathrm{MHz}

所以射频信号是中心 9320 MHz 的 LFM。

3.3 下变频

接收回波中心约 9320 MHz，可能带多普勒：

f_{echo} \approx 9320\ \mathrm{MHz} + f_d

用 9200 MHz 本振下变频：

f_{IF} = f_{echo} - f_{LO} \approx 9320\ \mathrm{MHz} + f_d - 9200\ \mathrm{MHz} = 120\ \mathrm{MHz} + f_d

所以下变频后，信号中心大约回到 120 MHz，但多普勒信息体现在 120 MHz 附近的偏移上。

3.4 DDC 到零频

数字下变频：

s_{bb}(t) = s_{IF}(t) \exp(-j 2\pi \cdot 120\ \mathrm{MHz} \cdot t)

频率整体向左搬 120 MHz：

115\ \mathrm{MHz} \sim 125\ \mathrm{MHz} \;\rightarrow\; -5\ \mathrm{MHz} \sim +5\ \mathrm{MHz}

所以复基带信号：

中心 0 Hz；
带宽 10 MHz；
频率范围 $-5\ \mathrm{MHz} \sim +5\ \mathrm{MHz}$ 。

3.5 频率轴变化

中频实信号：
  115 MHz ————— 120 MHz ————— 125 MHz
                中心

下变频到复基带：
  -5 MHz ————— 0 Hz ————— +5 MHz
              中心

所以：

中频：中心 120 MHz，只有正频率；
复基带：中心 0 Hz，有正频率也有负频率。

3.6 多普勒在基带中的表现

如果目标是静止的，DDC 后中心大约在 0 Hz。如果目标运动，DDC 后中心在：

f_d = \frac{2v}{\lambda}

附近。

目标接近：中心往正频率偏；
目标远离：中心往负频率偏。

3.7 本振选择与镜像

本振选择不唯一。 9320 MHz 和 120 MHz 可以由 9200 MHz 本振和频得到，也可以由 9440 MHz 本振差频得到，取决于系统方案和滤波器。

混频会产生和频与差频：

f_{LO} + f_{IF}, \quad |f_{LO} - f_{IF}|

必须通过滤波器选择所需分量，抑制镜像频率。

4. 负频率与复信号深入

4.1 为什么有负频率

实信号频谱共轭对称，有正频率和负频率。复信号频谱可以不对称，正负频率独立。

复指数：

e^{j2\pi f_0 t} \rightarrow +f_0, \qquad e^{-j2\pi f_0 t} \rightarrow -f_0

所以复信号中负频率是正常成分。

4.2 负频率的物理意义

在 I/Q 复平面里：

正频率：矢量逆时针旋转；
负频率：矢量顺时针旋转。

对应多普勒：

目标接近：正多普勒；
目标远离：负多普勒。

4.3 正负多普勒

如果只用实信号，不保留 I/Q，正负多普勒会混在一起，分不清目标是在接近还是远离。

使用复信号：

s_{bb}(t) = I(t) + j Q(t)

正频率和负频率就是独立的。

4.4 为什么雷达需要 IQ

因为：

要区分正负多普勒，判断目标运动方向；
要保留完整相位信息；
要避免频谱镜像混叠；
要做脉冲压缩、相参积累、测速等处理。

4.5 解析信号与希尔伯特变换

实信号的解析信号：

s_a(t) = s(t) + j \cdot \mathcal{H}\{s(t)\}

解析信号只保留正频率成分。它常用于把实信号转换为复信号，便于数字处理。

4.6 镜像频率与镜频抑制

混频器输出包含和频与差频。如果滤波器不理想，镜像频率会混入有用信号。

IQ 解调中，I/Q 幅度和相位不平衡会导致镜像抑制比下降。因此雷达接收机需要校准 I/Q 不平衡。

5. 相关扩展知识点

5.1 采样定理与 Nyquist

采样率必须大于信号最高频率的两倍：

f_s \gt 2 f_{max}

对于带通信号，可以使用带通采样。中频采样时，ADC 采样率不一定要大于中频中心频率的两倍，但必须满足带通采样条件。

5.2 脉冲压缩

LFM 信号通过匹配滤波实现脉冲压缩。距离分辨率：

\Delta R = \frac{c}{2B}

脉冲压缩提高距离分辨率，同时保持较长的脉冲能量。

5.3 相参积累与非相参积累

相参积累：保留相位，沿慢时间积累，提高 SNR，并形成多普勒分辨率。非相参积累：只积累幅度，损失相位信息，不能提高多普勒分辨率。

5.4 加窗、主瓣、旁瓣

加窗可以降低旁瓣，抑制频谱泄漏。但加窗通常会展宽主瓣，降低频率分辨率。矩形窗主瓣最窄，但旁瓣较高。

5.5 距离-多普勒处理

典型二维处理：

快时间维 FFT / 脉冲压缩：测距；
慢时间维 FFT：测速；
形成距离-多普勒二维图。

5.6 模糊函数与分辨率

模糊函数描述雷达信号在时延和多普勒上的分辨能力。 LFM 的模糊函数呈斜刃形，存在距离-多普勒耦合。

5.7 雷达 PRF 类型

低 PRF：测距无模糊，测速模糊；
高 PRF：测速无模糊，测距模糊；
中 PRF：折衷，距离和速度都可能模糊。

5.8 中频采样与数字下变频

中频采样：ADC 直接采样中频信号。数字下变频 DDC：用 NCO 产生复本振，与中频信号混频，再低通滤波，得到基带 I/Q。

5.9 时宽带宽积

LFM 的时宽带宽积：

BT = B \cdot T

脉冲压缩比约等于 BT。 BT 越大，压缩后脉冲越窄，距离分辨率越高。

5.10 多普勒模糊与距离模糊

多普勒模糊：

f_d \gt \frac{PRF}{2}

距离模糊：

R \gt \frac{c}{2 PRF}

PRF 选择需要同时考虑距离模糊和速度模糊。

6. 核心公式速查

量	公式
脉冲重复间隔	$PRI = 1 / PRF$
相干处理时间	$T_{CPI} = N / PRF$
多普勒频率	$f_d = 2v / \lambda$
速度与多普勒	$v = \lambda f_d / 2$
无模糊多普勒范围	$-PRF/2 \le f_d \le PRF/2$
无模糊速度范围	$v_{max} = \pm \lambda PRF / 4$
FFT bin 间隔	$\Delta f_{bin} = PRF / N = 1 / T_{CPI}$
多普勒频率分辨率	$\Delta f_d \approx 1 / T_{CPI} = PRF / N$
速度分辨率	$\Delta v = \lambda PRF / (2N) = \lambda / (2 T_{CPI})$
无模糊距离	$R_{max} = c / (2 PRF)$
距离分辨率	$\Delta R = c / (2B)$
调频斜率	$K = B / T$
时宽带宽积	$BT = B \cdot T$
上变频	$f_{RF} = f_{LO} + f_{IF}$
下变频	$f_{IF} = f_{RF} - f_{LO}$
数字下变频	$s_{bb}(t) = s_{IF}(t) \exp(-j 2\pi f_{IF} t)$

7. 一句话总结

PRF 是慢时间采样率，决定无模糊多普勒范围和无模糊速度范围；频率分辨率主要由相干处理时间 T_CPI 决定：

\Delta f_d = \frac{1}{T_{CPI}} = \frac{PRF}{N}

固定 N 时，PRF 越高，频率分辨率越差，但无模糊测速范围越大；固定 T_CPI 时，PRF 不影响频率分辨率，只影响无模糊速度范围； PRF 的选择需要在测速范围、测距范围和分辨率之间折衷。

中频 120 MHz 是信号所在频率位置，线性调频是调制形式，9320 MHz 是上变频后的射频载频；下变频把射频搬回中频，零频则是再经过数字下变频后得到的中心 0 Hz 的复基带 I/Q 信号。复基带中正负频率都存在，分别对应正负多普勒，用于判断目标接近还是远离。

结束

雷达信号处理

目录

0. 总览：从信号产生到数字基带

1. 基础概念

1.1 快时间与慢时间

1.2 中频、射频、基带/零频

1.3 线性调频信号 LFM

1.4 上变频与下变频

1.5 IQ 复基带与零频

1.6 正频率与负频率

1.7 实信号与复信号频谱

2. PRF 与频率分辨率

2.1 PRF、PRI、CPI

2.2 多普勒频率

2.3 慢时间采样与 PRF

2.4 无模糊多普勒与速度

2.5 FFT 与频率 bin

2.6 真实频率分辨率

2.7 PRF 与频率分辨率核心关系

固定脉冲数 N 时

固定相干处理时间 T_CPI 时

固定 PRF，增加 N 时

2.8 三种典型情况

情况一：固定脉冲数 N

情况二：固定相干处理时间 T_CPI

情况三：固定 PRF，增加 N

2.9 距离模糊与距离分辨率

2.10 PRF 折衷

2.11 常见误区

误区一：PRF 越高，频率分辨率一定越好

误区二：补零可以提高真实频率分辨率

误区三：FFT bin 间隔就是真实频率分辨率

误区四：PRF 决定距离分辨率

误区五：加窗一定能提高分辨率

2.12 公式汇总

2.13 示例计算

3. 频率变换链实例：120 MHz 中频、9320 MHz 射频、零频

3.1 参数假设

3.2 上变频

3.3 下变频

3.4 DDC 到零频

3.5 频率轴变化

3.6 多普勒在基带中的表现

3.7 本振选择与镜像

4. 负频率与复信号深入

4.1 为什么有负频率

4.2 负频率的物理意义

4.3 正负多普勒

4.4 为什么雷达需要 IQ

4.5 解析信号与希尔伯特变换

4.6 镜像频率与镜频抑制

5. 相关扩展知识点

5.1 采样定理与 Nyquist

5.2 脉冲压缩

5.3 相参积累与非相参积累

5.4 加窗、主瓣、旁瓣

5.5 距离-多普勒处理

5.6 模糊函数与分辨率

5.7 雷达 PRF 类型

5.8 中频采样与数字下变频

5.9 时宽带宽积

5.10 多普勒模糊与距离模糊

6. 核心公式速查

7. 一句话总结

雷达频变