相控阵雷达入门（9）：角度测量

本篇是《相控阵雷达原理》第 9 章学习笔记。测角 = 回答"目标在哪个方向"。机械扫描靠"天线转到哪个角度回波最强"，相控阵靠"波束之间的比较"。本章推导各种测角方法的公式。

一、测角的基本思路

1.1 波束扫描法（经典法）

天线波束扫过目标时，回波脉冲串的幅度被天线方向图调制：

$$y(t) \propto F(\theta(t))$$

回波最强的时刻对应波束最大指向 = 目标角度。具体做法：对相邻脉冲幅度做差分 $\Delta A(t)$，$\Delta A(t)$ 过零的时刻就是目标角度（方向图导数为零处）。

精度受限因素：脉冲是离散的，最强回波不一定正好在目标方向，存在 $\pm T_r/2$ 内的角度摆动误差。

1.2 测角误差公式

天线转速 $\Omega$（r/min）、重复频率 $F_r$、波束宽度 $\Delta\varphi_b$ 时，波束内回波脉冲数：

$$N_b = \frac{\Delta\varphi_b \cdot F_r}{6\Omega}$$

摆动误差均方根值：

$$\sigma_{\varphi, rms} = \pm \frac{1}{2}\frac{6\Omega}{\Delta\varphi_b F_r} \ \text{(近似)}$$

直觉：波束越窄、转速越快、重复频率越低，波束内脉冲越少，测角越不准。

二、单脉冲测角：一次脉冲定角度

单脉冲测角是相控阵测角的主力，核心思想：用两个（或多个）同时形成的波束，通过比较它们回波的幅度/相位，在一个脉冲内确定目标角度。

2.1 双波束幅度比较单脉冲

两个波束分别偏在目标两侧（偏角 $\pm\theta_k$），目标位于中间。两波束回波幅度：

$$A_1 = A_0 F(\theta - \theta_k), \quad A_2 = A_0 F(\theta + \theta_k)$$

比值 $r = A_1/A_2$ 在波束交点附近是角度的单调函数（差波束特性），由比值反解角度：

$$\theta = f^{-1}\left(\frac{A_1}{A_2}\right)$$

方向图斜率越陡，比值对角度的灵敏度越高，测角越准。

2.2 和差波束单脉冲（最经典）

形成和波束 $\Sigma = A_1 + A_2$ 与差波束 $\Delta = A_1 - A_2$：

• 目标在轴线上：$\Delta = 0$（差波束零点）
• 目标偏离：$\Delta/\Sigma$ 与偏角近似成线性关系

$$\frac{\Delta}{\Sigma} \approx k_\theta \cdot \theta \quad\Rightarrow\quad \theta = \frac{1}{k_\theta}\frac{\Delta}{\Sigma}$$

$k_\theta$ 是差波束的角灵敏度（误差斜率），由方向图在零点处的斜率决定：

$$k_\theta = \left.\frac{dF_\Delta(\theta)}{d\theta}\right|_{\theta=0} \Big/ F_\Sigma(0)$$

直觉：和差单脉冲像一个"天平"——两边一样重（$\Delta=0$）说明目标在正中，一边偏重说明目标偏了，偏多少由 $\Delta/\Sigma$ 读出。

2.3 相位比较单脉冲

两个波束指向相同，但相位中心错开。目标偏离轴线时，两波束回波存在相位差：

$$\Delta\varphi = \frac{2\pi}{\lambda} D \sin\theta$$

其中 $D$ 是两个波束相位中心的间距。由相位差解角度：

$$\sin\theta = \frac{\lambda}{2\pi D}\Delta\varphi$$

2.4 相位和差单脉冲

结合相位比较与和差处理，进一步提高精度、降低对幅度起伏的敏感度。

三、测角精度分析

3.1 一般公式

测角误差来源于接收机噪声引起的信号起伏。单脉冲测角精度（均方根值）经典公式：

$$\sigma_\theta = \frac{\theta_{0.5}}{k_m \sqrt{2 (SNR)}}$$

其中 $\theta_{0.5}$ 为波束半功率宽度，$k_m$ 为单脉冲斜率因子（典型值 1.5~2），$SNR$ 为回波信噪比。

直觉：波束越窄、信噪比越高，测角越准。波束宽度 $\theta_{0.5}$ 是精度的"标尺"——这就是为什么相控阵雷达要窄波束（大孔径）测角。

3.2 各方法精度对比

3.3 通道不一致的影响

各通道幅度相位不一致会破坏单脉冲关系：

• 幅度误差 → 测角零点偏移
• 相位误差 → 灵敏度下降
• 因此单脉冲雷达需要通道校准（和第 3 章幅相一致性呼应）

四、多通道角度测量与 DOA

4.1 多通道角度测量

同时多个接收波束 + 多通道处理 → 同时测量多个目标角度，一次照射多目标测角。

4.2 来波方向估计（DOA）

对阵列接收数据做更精细的空间谱估计（比单脉冲分辨率更高）：

经典方法——MUSIC 算法思路：把接收数据协方差矩阵 $R$ 特征分解：

$$R = \sum_{i=1}^{N} \lambda_i \mathbf{v}_i \mathbf{v}_i^H$$

大特征值对应信号子空间，小特征值对应噪声子空间。信号方向与噪声子空间正交，搜索方向谱峰值：

$$P(\theta) = \frac{1}{\mathbf{a}^H(\theta) \mathbf{E}_n \mathbf{E}_n^H \mathbf{a}(\theta)}$$

其中 $\mathbf{a}(\theta)$ 是导向矢量，$\mathbf{E}_n$ 是噪声子空间。谱峰对应目标方向，可分辨波束宽度内的多个目标。

五、本章核心公式卡片

六、一句话总结

测角精度 = 波束宽度 ÷（灵敏度 × 信噪比的平方根）。单脉冲测角用"两个波束的比较"在一个脉冲内锁定角度，和差波束最抗幅度起伏；DOA 估计则用矩阵特征分解把"波束内的多个目标"也分开。

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